Советский скульптор и живописец, выдающийся спортсмен, основатель школы отечественного альпинизма. Автор скульптурных работ на альпинисткую тематику. Совершил первое восхождение на Пик Коммунизма. Во время Великой отечественной войны ушёл добровольцем на фронт. Погиб в московской квартире от взрыва бытового газа.
Абалаков родился в Красноярске в семье казака. Мать умерла при родах Евгения, отец умер два года спустя, оставив сиротами Евгения и его брата Виталия. В 1932 году Евгений Абалаков окончил МГАХИ им. Сурикова, являлся членом Союза художников СССР. Был скульптором и живописцем, но ещё более он известен как выдающийся альпинист, заложивший основы отечественной школы альпинизма.
В юности он и его брат занимались скалолазанием в районе Красноярских столпов, позднее он был первопроходцем многих сложных маршрутов на вершины Кавказа и Памира, но, прежде всего, он известен как первовосходитель на высшую точку Советского Союза пик Коммунизма (в то время пик Сталина). Из состава экспедиции альпинистов 3 сентября 1933 года вершины достиг один лишь Абалаков. Это было одно из первых в мире восхождений на вершины-семитысячники.
Многие живописные работы Абалакова посвящены горам и альпинисткой тематике. Его скульптурная группа «Альпинист и альпинистка» установлена на стадионе в Лужниках в Москве, его «Альпинистка» стоит в парке Евпатории.
В начале Великой отечественной войны Абалаков пошёл на фронт добровольцем. До 1942 года воевал под Москвой. В 1942 году принимал участие в обороне Кавказа. Преподавал в школе военного альпинизма и горнолыжного дела Закавказского фронта. В 1944 году был руководителем восхождения военных подразделений на Казбек.
Именем Евгения Абалакова названа вершина 6446 м на Памире, горные вершины на Тянь-Шане, есть Абалаковская щель на Коммунаре, Абалаковский цирк на Такмаке.
Абалаков трагически погиб в Москве в квартире от взрыва бытового газа.