Русский художник. Живописец, скульптор и иконописец. Писал пейзажи, натюрморты и портреты. В 1925 году в эмигрировал. Обосновался в Париже. В 1930 году переехал в Бостон (США). В 1930-е годы стал интересоваться иконописью. Погиб в автокатастрофе недалеко от Бостона.
Алексей Арапов родился в петербургской дворянской семье. Его отец был генерал-майором медицинской службы, мать — одной из первых женщин — глазных хирургов, племянницей Льва Толстого. После революции 1917 семья покинула Санкт-Петербург и переехала в Саратов (по другим данным, переезд относится к значительно более раннему времени), где в 1918 Арапов окончил гимназию. Во время голода первых революционных лет семья Араповых жила в Немецкой колонии близ Саратова. Именно там были заложены основы художественного образования Алексея Арапова, и его первым учителем живописи стал австрийский художник Ганс ван Берглер (впоследствии — профессор Академии художеств Вены). В 1921 Арапов поступил в Художественный институт в Саратове.
В 1923 переехал в Москву, где работал художником-оформителем: создавал проекты мебели для рабочих клубов, выполнял официальные портреты и агитационные плакаты. В те же годы Арапов работал как художник театра, в частности создавал эскизы декораций и костюмов для авангардного театра Н. М. Форрегера. Именно в это время актер Николай Симонов познакомил Арапова с современным французским театром, а вскоре художник начал работать сценографом для труппы театра «Кривое зеркало».
С этим театром он выехал в 1924 в Европу на гастроли, во время которых принял решение не возвращаться в СССР. Арапов провел в Париже пять лет (1925–1930), в течение которых он успешно участвовал в нескольких коллективных выставках вместе с Иваном Пуни, Андре Ланским, Ильей Зданевичем, Наталией Гончаровой и Михаилом Ларионовым. Вместе с другими русскими художниками Арапов выставлялся на Осеннем салоне (1926), Салоне Независимых (1928) и в парижских галереях Хиршмана (Hirshman, 1929), Зака (Zak, 1930) и L’Epoque (1931). В 1928 участвовал в русском отделе выставки «Современное французское искусство» в Москве. В Париже состоялся ряд его персональных экспозиций — в галерее М. Анри (M. Henri, 1927), Персье (Percier, 1928) и Жирара (Ch.-A. Girard, 1930).
В 1930 художник переехал со своей женой, американкой Кэтрин Грин, в США, где прожил следующие 18 лет. В эти годы он жил в Бостоне, писал многочисленные пейзажи Северного побережья, создавал зарисовки и акварели с изображением членов своей семьи. К этому периоду относится и серия пейзажей Бостона и окрестностей, а также Гарварда, однако все большее время он посвящал религиозной живописи. В 1935 Арапов впервые показал на выставках свои этюды к живописной серии, посвященной Страстям Господним и Крестному Пути Христа, а также провел персональную выставку в престижной галерее Грэйс Хорн (Grace Horne Gallery) в Бостоне. Арапов участвовал в выставках (некоторые из них были организованы в его мастерской), занимался литературной деятельностью и читал лекции по истории и теории искусства. В 1938 году выставки работ Арапова прошли в Музыкальной консерватории Новой Англии и бостонском Центре искусств.
Рост религиозного сознания художника значительно усилился с переходом Арапова в католическую веру в 1934, что оказало сильнейшее влияние и на его творчество. Последние десять лет жизни художник практически полностью посвятил религиозному искусству, в особенности своему увлечению византийской иконой. После 1940 Арапов увлекся возрождением техники древнерусской иконы и работал преимущественно как иконописец, лишь изредка обращаясь к пейзажу и портрету. В 1947 году он задумал проект создания Общества церковного искусства, которому не было суждено осуществиться из-за гибели художника на 43-м году жизни в автомобильной катастрофе близ Бостона 25 сентября 1948.
В 1952 в бостонском Музее изящных искусств прошла ретроспективная выставка художника, где были показаны его живопись, гуаши, рисунки и иконы.