Ученик Академии Художеств (в 1837 г., будучи офицером л.-гв. Литовского полка, стал посещать классы батальной живописи Академии Художеств). Получил медали: в 1839 г. — 2 серебряную; в 1840 г. — 1 серебряную за картину «Сражение при Ливенберге»; в 1843 г. — 2 золотую за программу «Сражение при Кулевчи»; в 1844 г. — 1 золотую за картину «Взятие Варшавы»; в 1847 г. отправлен за границу пенсионером на 6 лет; в 1849-1850 гг. возвратился и получил разрешение вновь отправиться за границу для окончания картин из эпохи семилетней войны. В 1850 г. — академик без исполнения программы; в 1858 г. — профессор.
Родился будущий художник в известной немецкой семье, находящейся на службе у российского императора (один брат художника был начальником русской армии во время Крымской войны, другой служил по морскому ведомству, совершил под российским флагом кругосветное путешествие с открытием ряда островов в Тихом океане).
Художник и сам получил отличное военное образование — служил в лейб-гвардии Литовском полку. Однако тяга к художеству перевесила престижность и перспективы военной службы: с 1839 по 1844 год А.Е. Коцебу настолько успешно занимается под руководством А.И. Зауервейда в классе баталической живописи Академии художеств, что в конце обучения получает заказ на написание картин от самого императора Николая I.
В пенсионерской поездке художник посещает многие места боевой славы русского оружия. Это поможет А.Е. Коцебу лучше воплотить в будущих полотнах исторические баталии. Перечислим ключевые картины живописца: «Сражение под Нарвой 19 ноября 1700 года», «Штурм крепости Нотебург 11 октября 1702 года», «Сражение при Цорндорфе», «Взятие Берлина», «Переход русских войск через Чёртов мост», «Сражение в Мутенской долине», «Лейб-гвардии Измайловский полк в сражении при Бородине».
Тяжелая болезнь застала профессора баталической живописи Императорской академии художеств А.Е. Коцебу во время работы над полотном «Взятие Шипки» — завершить задуманное художнику не удалось.